Espace de Hilbert \(H\)
Espace préhilbertien qui est complet pour la
Norme issue de son
Produit scalaire.
Espace de Banach dont la norme vient d'un produit scalaire.
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Avec quel produit scalaire \({\Bbb R}^n\) est-il un espace de Hilbert ?
Verso: Avec le produit scalaire usuel : $$\langle{x,y}\rangle =x^T y$$
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Avec quel produit scalaire \({\Bbb C}^n\) est-il un espace de Hilbert ?
Verso: Avec le
Produit hermitien : $$\langle{x,y}\rangle =x^* y$$
Bonus:
END
Définition
Définition :
Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme vient d'un produit scalaire
Angles
Définition :
Soit \(H\) un espace de Hilbert et \(f,g\in H\)
On définit l'angle entre \(f\) et \(g\) comme le réel : $$\alpha=\arccos\frac{\langle{f,g}\rangle }{\lVert f\rVert\lVert g\rVert}$$
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est droit si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle =0\)
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est aigu si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle \lt 0\)
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est obtus si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle \gt 0\)
Propriétés
Théorème de PythagoreRègle du parallélogrammeIdentités de polarisationInégalité de Cauchy-SchwarzInégalité triangulaireProjection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie)
Caractérisation des séries convergentes
Caractérisation des séries convergentes dans un espace de Hilbert (convergence normale) :
- \(\displaystyle\sum\lVert f_n\rVert\lt \infty\)
$$\Huge\iff$$
- la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge
Caractérisation des séries convergentes dans un espace de Hilbert (suites orthogonales) :
- \(\displaystyle\sum\lVert f_n\rVert^2\lt \infty\)
- les \(f_n\) sont orthogonaux deux à deux
$$\Huge\iff$$
- la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge
Projection sur un convexe fermé
Projection sur un convexe fermé
Orthogonalité
Ensembles orthogonaux - Complément orthogonalDécomposition orthogonale
Théorème de Riesz-Fréchet
Théorème de représentation de Riesz
Base hilbertienne
Définition
Définition :
Soit \(H\) un espace de Hilbert
Une base hilbertienne de \(H\) est un ensemble de vecteurs \(\{e_i\}_{n\in{\Bbb N}}\) qui est orthonormal et total : $$\langle{e_n,e_m}\rangle =\delta_{n,m}\quad\text{ et }\quad\overline{\operatorname{span}(\{e_n\}_{n\in{\Bbb N}})}=H$$
Autrement dit, tout \(f\in H\) est de la forme : $$f=\sum_{n\geqslant1}\lambda_ne_n$$
Caractérisation
Caractérisation d'une base hilbertienne :
- les fonctions \(f\) sont la somme de leur série de Fourier
$$\Huge\iff$$
- \((e^{in x})_{n\in{\Bbb N}}\) est une base de Hilbert
Exemples
Suites de carré sommable
\(\ell^2({\Bbb N})\) est un espace de Hilbert, avec $$\lVert a\rVert_{\ell^2({\Bbb N})}:={{\sqrt{\sum_{n\in{\Bbb N}}\lvert a_n\rvert^2} }}\quad\text{ et }\quad\langle{a,b}\rangle _{\ell^2({\Bbb N})}:={{\sum_{n\in{\Bbb N}}a_n\overline{b_n} }}$$
La base canonique associée est donnée par : $$(e_n)_k={{\delta_{nk} }}$$
Fonctions de carré intégrable
\(L^2(\Omega)\) est un espace de Hilbert, avec $$\lVert f\rVert_{L^2(\Omega)}:={{\sqrt{\int_\Omega\lvert f\rvert^2} }}\quad\text{ et }\quad\langle{f,g}\rangle _{L^2(\Omega)}:={{\int_\Omega f\bar g }}$$
La base canonique associée est donnée par : $$(e_n)_k={{\delta_{nk} }}$$
#
Bases de Fourier
Base de Fourier complexeBase de Fourier réelleBase de cosinus - Base de sinusBase de Fourier des harmoniques impaires
Types de convergence
Convergence faibleSCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Analyse de Fourier et Hilbertienne/Vrac/Convergence forte
Exercices
