En bref
En bref :
Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complexe de dimension finie ou infinie muni d'un produit scalaire permettant de tester la similarité entre deux vecteurs
Définition
Définition :
Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme vient d'un produit scalaire
(
Espace de Banach,
Produit scalaire)
Définition :
Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet avec la norme induite \(\lVert f\rVert_H=\sqrt{\langle{f,f}\rangle }\)
Angles
Définition :
Soit \(H\) un espace de Hilbert et \(f,g\in H\)
On définit l'angle entre \(f\) et \(g\) comme le réel : $$\alpha=\arccos\frac{\langle{f,g}\rangle }{\lVert f\rVert\lVert g\rVert}$$
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est droit si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle =0\)
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est aigu si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle \lt 0\)
Définition :
On dit que l'angle entre \(f\) et \(g\) est obtus si et seulement si \(\Re\langle{f,g}\rangle \gt 0\)
Propriétés
Théorème de PythagoreRègle du parallélogrammeIdentités de polarisationInégalité de Cauchy-SchwarzInégalité triangulaireProjection orthogonale - Projeté orthogonal
Caractérisation des séries convergentes
Caractérisation des séries convergentes dans un espace de Hilbert (convergence normale) :
- \(\displaystyle\sum\lVert f_n\rVert\lt \infty\)
$$\Huge\iff$$
- la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge
Caractérisation des séries convergentes dans un espace de Hilbert (suites orthogonales) :
- \(\displaystyle\sum\lVert f_n\rVert^2\lt \infty\)
- les \(f_n\) sont orthogonaux deux à deux
$$\Huge\iff$$
- la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge
Projection sur un convexe fermé
Projection
Orthogonalité
Ensembles orthogonaux - Complément orthogonalDécomposition orthogonale
Continuité
Définition d'une application linéaire continue entre espaces normés :
- soit \(\varphi:E\to F\) linéaire
- \(\varphi\) est bornée sur la boule unité de \(E\), i.e. $$\exists C\geqslant 0,\forall x\in E\text{ tq }\lVert x\rVert=1,\qquad \lVert\varphi(x)\rVert_F\leqslant C$$
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(\varphi\) est continue
Définition :
Soit \(\varphi:E\to F\) une application linéaire continue entre espaces normés
La norme (fonctionnelle) de \(\varphi\) est donnée par : $${{|||\varphi|||_{L(E,F)}=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lVert\varphi(x)\rVert_F }}$$
Proposition :
Soit \(f\in H\) un espace de Hilbert
Alors la fonction \(\varphi\) telle que \(\varphi(g)=\langle{g,f}\rangle \) est une forme linéaire continue sur \(H\)
Produit scalaire nul sur un espace de Hilbert :
- soit \(f\in H\)
- \(\forall g\in H,\langle{g,f}\rangle =0\)
$$\Huge\iff$$
Théorème de Riesz-Fréchet
Théorème de représentation de Riesz
Base hilbertienne
Définition
Définition :
Soit \(H\) un espace de Hilbert
Une base hilbertienne de \(H\) est un ensemble de vecteurs \(\{e_i\}_{n\in{\Bbb N}}\) qui est orthonormal et total : $$\langle{e_n,e_m}\rangle =\delta_{n,m}\quad\text{ et }\quad\overline{\operatorname{span}(\{e_n\}_{n\in{\Bbb N}})}=H$$
Autrement dit, tout \(f\in H\) est de la forme : $$f=\sum_{n\geqslant1}\lambda_ne_n$$
Caractérisation
Caractérisation d'une base hilbertienne :
- les fonctions \(f\) sont la somme de leur série de Fourier
$$\Huge\iff$$
- \((e^{in x})_{n\in{\Bbb N}}\) est une base de Hilbert
Exemples
Suites de carré sommable
\(\ell^2({\Bbb N})\) est un espace de Hilbert, avec $$\lVert a\rVert_{\ell^2({\Bbb N})}:={{\sqrt{\sum_{n\in{\Bbb N}}\lvert a_n\rvert^2} }}\quad\text{ et }\quad\langle{a,b}\rangle _{\ell^2({\Bbb N})}:={{\sum_{n\in{\Bbb N}}a_n\overline{b_n} }}$$
La base canonique associée est donnée par : $$(e_n)_k={{\delta_{nk} }}$$
Fonctions de carré intégrable
\(L^2(\Omega)\) est un espace de Hilbert, avec $$\lVert f\rVert_{L^2(\Omega)}:={{\sqrt{\int_\Omega\lvert f\rvert^2} }}\quad\text{ et }\quad\langle{f,g}\rangle _{L^2(\Omega)}:={{\int_\Omega f\bar g }}$$
La base canonique associée est donnée par : $$(e_n)_k={{\delta_{nk} }}$$
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Bases de Fourier
Base de Fourier complexeBase de Fourier réelleBase de cosinus - Base de sinusBase de Fourier des harmoniques impaires
Types de convergence
Convergence faibleSCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Analyse de Fourier et Hilbertienne/Vrac/Convergence forte